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期权定价模型简述

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期权定价模型简述

期权定价模型
目录
1 期权定价模型概述
1.1 期权定价模型的前驱
1.2 期权定价模型发展过程
2 期权定价的方法
3 期权定价模型与无套利定价
4 B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件 期权定价模型简述
4.1 (一)B-S模型有5个重要的假设
4.2 (二)荣获诺贝尔经济学奖 的B-S定价公式
5 期权定价的二项式模型

期权定价模型概述
期权定价模型的前驱
1、巴施里耶(Bachelier,1900)

期权定价模型发展过程
期权 是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品(underlying assets)的选择权。期权价格是期权合约 中唯一随市场供求变化而改变的变量,它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况,是期权交易的核心问题。早在1900年法国金融专家劳雷斯·巴舍利耶就发表了第一篇关于期权定价的文章。此后,各种经验公式或计量定价模型纷纷面世,但因种种局限难于得到普遍认同。70年代以来,伴随着期权市场的迅速发展,期权定价理论的研究取得了突破性进展。

期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black 和Myron Scholes 创立并于1973年公之于世。B—S期权定价模型 发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约 几乎是同时。不久,德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在,几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机,利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。

斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果,两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型 。默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献 。

1979年,科克斯(Cox)、罗斯 (Ross)和卢宾斯坦(Rubinsetein)的论文《期权定价:一种简化方法》提出了二项式模型 (Binomial Model),该模型建立了期权定价数值法的基础,解决了美式期权 定价的问题。

[b]期权定价模型与无套利定价 [/b]
期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时,此确定报酬必须得到无风险利率。期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。所谓无套利定价就是说任何零投入的投资只能得到零回报,任何非零投入的投资,只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报,而不能获得超额回报(超过与风险相当的报酬的利润)。从Black-Scholes期权定价模型 的推导中,不难看出期权定价本质上就是无套利定价。

B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件
一)B-S模型有5个重要的假设
1、金融资产收益率服从对数正态分布 ;

Merton模型的参数校准与定价

1973 年,美国的数学家、经济学家 Black 和Scholes提出了一个较为完整的期权定价模型,称为 Balck-Scholes 模型。Balck-Scholes 模型是较为理想的欧式期权定价模型,模型的提出为期权的发展奠定了基础,在理论和实践方面都有着重大的意义。由于 Balck-Scholes 模型的是在标的资产的价格服从正态分布以及常数波动率等假设上建立起来的,这些假设与实际交易市场的数据表现出矛盾之处:常数波动率无法解释期权的隐含波动率微笑现象,并且标的资产的价格服从正态分布也与实际市场的标的资产呈现尖峰厚尾且倾斜的现象不符。

由于 Balck-Scholes 模型在假设方面的不足,因此后续的学者不断对 Balck-Scholes 模型进行了修正和改进。1973 年,Merton在 BS 模型的基础上引入了跳跃扩散过程,该模型通过将跳跃扩散参数与泊松过程相加来模拟资产价格的波动。

一、Merton模型


其中,𝑞是连续股息收益率,𝑊𝑡是标准布朗运动,𝑃𝑡为强度𝜆的泊松过程,𝑟𝐽为跳跃的漂移修正项,且:

𝜇𝐽是 J 的均值,𝐽表示跳跃,并且其分布满足:

在风险中性估值的假设条件下,看涨期权的价值就等于未来预期价值按照无风险利率折现之后的现值,即:

在这里插入图片描述


按照跳跃的次数以及所有可能的扩散路径对𝑆𝑇进行分组,可以得到所有𝑆𝑇的值,因此有:

在这里插入图片描述


其中,S𝑇𝑛为经历 n 次跳跃及其后的扩散过程之后,标的资产价格在到期日的对数正态分布。

用 Black-Scholes 期权模型的价格表示式 中的期望值,则有:
期权定价模型简述
其中,𝐶𝐵𝑆(𝑆, 𝐾, 𝑇,𝑡, 𝜎, 𝑟𝑛)表示标准 Black-Scholes 期权定价公式下的看涨期权价格,𝑟𝑛满足:

其中,𝜇𝑛为标的资产在发生 n 次跳跃之后的回报率,表达式为:

在这里插入图片描述


将式 联立,可以得到:

在这里插入图片描述


上式 为一个混合公式,可以求欧式看涨期权在跳跃扩散模型下的价格,将式 2.13 期权定价模型简述 右侧的𝐶𝐵𝑆换成𝑃𝐵𝑆,即 Black-Scholes 期权定价中的看跌期权价格,各项参数保持不变,可求得欧式看跌期权在跳跃扩散模型下的价格。

二、Merton模型的三种定价方法

在这里插入图片描述

利用傅里叶方法,可以得到Merton模型的半解析解的形式,在给定模型的欧式看涨期权时,可以知道Merton模型的特征函数

三种定价方法:
①数值积分
②快速傅里叶变换
③蒙特卡洛模拟

在这里插入图片描述

三、Merton模型的校准

在这里插入图片描述


需要校准的参数为:
sigma, lamb, mu, 期权定价模型简述 delta

四、Merton模型的三种方法定价对比

在这里插入图片描述


通过上图可以看出,三种方法所得的结果大致是相等的。

五、Merton模型的校准

在这里插入图片描述


部分代码:

数据科普:定价模型与平价关系式(投资必知必会)

微分方程

其中,式子中的 f 表示看涨期权价格,S表示期权基础资产的价格,r为连续复利的无风险收益率,σ为基础资产价格百分比变化(收益率)的波动率,t是时间变量。

看涨期权定价公式

看跌期权定价公式

d的计算

期权定价模型简述

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1* 1/3 +2 * 1/(3*3)=0.5555556

0.3333333 0.6666667 0.1111111 0.4444444

0.7777778 0.2222222 0.5555556 0.8888889 0.037037

0.3703704 0.7037037 0.1481481 0.4814815

0.8148148 0.2592593 0.5925926 0.9259259

选择不同的基数(它要求是一个素数),可以得到不同的halton数列。统计学家证明了运用QUASI随机数列可以加快收敛速度,突破了原先的 ,将收敛速度加快到: